开普勒定律与轨道

用二十年观测熬出的三条定律

在牛顿之前，开普勒抱着老师第谷留下的二十年火星观测数据，算了将近十年，硬是从数字里熬出三条经验定律：一，行星轨道是椭圆，太阳在一个焦点上；二，行星和太阳的连线在相等时间扫过相等面积——所以行星离太阳近时跑得快、远时慢；三，各行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比：$T^2\propto a^3$。牛顿后来证明，这三条全是万有引力定律的推论——从「是什么」到「为什么」，科学迈了一大步。

近日点快，远日点慢

第二条面积定律其实就是角动量守恒（第五章）换了件马甲。地球每年 1 月初过近日点，跑得比 7 月的远日点略快——北半球冬天因此比夏天短几天。哈雷彗星把这个效应放大到极致：轨道扁到近日点冲进金星轨道内侧、远日点飞出海王星之外，约 76 年回归一次，绝大多数年头都在远处慢慢磨。

逃离地球需要多快

第一宇宙速度 7.9 公里/秒让你成为卫星；再加速到第二宇宙速度约 11.2 公里/秒，你就能彻底挣脱地球引力不再回来。这个数字不是拍脑袋：让动能足以抵消从地面升到无穷远的势能差，算出来正是它。旅行者 1 号 1977 年出发，借行星引力一路「弹弓加速」，如今已飞出太阳系日光层，成为最远的人造物体。

常见误区

「行星轨道是正圆、太阳在圆心」——椭圆虽扁得不多，但焦点上的太阳绝不居中，这正是开普勒和第谷数据死磕出来的结论。

练一练：查地球和火星的轨道半径比（约 1 : 1.5），用 $T^2\propto a^3$ 估算火星的一年有多长。