函数：变化的对应关系

函数是什么

生活中充满了「一个量跟着另一个量变」：打车费跟着里程变，气温跟着时刻变，手机电量跟着使用时间变。数学把这种关系抽象成函数：给一个 x，按确定的规则，产出唯一的 y，记作 $y=f(x)$。关键词是「唯一」——一个 x 只许对应一个 y，否则规则就不算数。

三种看法，一个东西

• 解析式：y = 2x + 1，精确但抽象
• 表格：x 取 0、1、2、3，y 得 1、3、5、7，具体但看不全
• 图象：在坐标系里描点连线，一次函数的图象是一条直线——一眼看清变化趋势

一次函数 y = kx + b

• k 叫斜率，决定「涨多快」：k = 2 表示 x 每加 1，y 涨 2；k 为负则 y 下降
• b 是截距，决定「从哪出发」：x = 0 时 y = b，图象与纵轴的交点

出租车计价就是一次函数：起步价 14 元（b = 14），每公里加 3 元（k = 3），y = 3x + 14。坐 10 公里，y = 44 元。

函数思想的威力

小学问「5 公里多少钱」，是算术；函数问的是「任意 x 公里多少钱」以及反过来「50 元能坐几公里」——解 3x + 14 ≤ 50，得 x ≤ 12。一个式子回答了一整族问题。

画图象只要两个点

一次函数的图象是直线，而两点确定一条直线——所以画 y = 2x + 1 只需算两组值：x = 0 得 y = 1，x = 1 得 y = 3，连起来就是整条直线。特别地，当 b = 0 时 y = kx 叫正比例函数，图象一定经过原点，y 与 x「同倍数涨落」——买苹果时总价与斤数就是正比例关系，单价是 k。

常见误区：认为「y 随 x 变化」就是函数。不对——必须每个 x 对应唯一的 y。圆的方程里一个 x 常对应两个 y（上下两半），所以整个圆不是一个函数图象。

练一练：某月手机套餐固定费 20 元，每 GB 流量 5 元。写出月话费 y 关于流量 x 的函数式，并回答 100 元预算最多用多少 GB。