连续与间断

接住上一课

数列极限处理离散输入，本课回到函数并把极限与点值连接起来。连续不是‘图像看起来不断’，而是点值存在、极限存在且二者相等。

教师带你完成主模型

设f(x)=(e^x-1)/x（x≠0），f(0)=c。由基本极限lim_{x→0}(e^x-1)/x=1，要使f在0连续必须且只需c=1。若c≠1，左右极限仍同为1，只是点值不匹配，因此0是可去间断点。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

分段函数应依次写左极限、右极限和函数值。左右极限有限但不相等是跳跃间断；至少一侧趋于无穷是无穷间断；极限振荡则是振荡间断。闭区间连续函数还可使用有界性、最值和介值定理，但必须明确区间闭且函数连续。

我会追问的易错点

给断点补一个值并不总能恢复连续：|x|/x在0左右极限不同，任何点值都无效。另一个错误是约分后忘记原函数在断点仍无定义；去心邻域等式可用于求极限，却不会自动补上点值。

迁移到下一题

判断(x²-4)/(x-2)在x=2的间断类型，并求应补的函数值；再与1/(x-2)比较为何后者不能补连续。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。