导数与微分的定义

接住上一课

连续描述函数值能否稳定接合；导数进一步量化局部变化率。先从差商极限建立定义，才能判断尖点、竖直切线与分段点是否可导。

教师带你完成主模型

对f(x)=x²，在x=1处按定义计算：[f(1+h)-f(1)]/h=[(1+h)²-1]/h=2+h，h→0得f'(1)=2。约去h只发生在h≠0的去心邻域；导数正是这个差商的极限，不是把h直接代为0。微分写成dy=f'(x)dx，表示主线性增量。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

可导必连续，因为Δy=f'(x_0)Δx+o(Δx)趋于0；连续不必可导，例如|x|在0左右导数分别为-1和1。分段点必须分别算左右导数，且在讨论可导前通常先检查连续。

我会追问的易错点

把导数定义分母写成x而非Δx，或只算右导数就下结论，都会漏掉定义要求。函数在某点导数无穷不叫该点可导；实数导数必须是有限极限。不要把可导与导函数连续混为一谈。

迁移到下一题

用定义计算f(x)=1/x在x=1处的导数，并指出每次约分所需的非零条件；再判断|x|在0的左右导数。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。