导数的计算

接住上一课

定义课解释导数从哪里来，本课建立可复用的求导系统：基本公式、四则运算、复合函数链式法则、隐函数与参数方程。

教师带你完成主模型

求y=x²e^x的导数。乘积法则给y'=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x)。若在x=1处取值，得到3e。两项分别来自对第一个因子和第二个因子求导，不能只保留其中一项。计算后可用对数求导或数值差商交叉检查。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

复合函数y=sin(x²)必须从外向内：y'=cos(x²)·2x。隐函数x²+y²=1两边对x求导得2x+2yy'=0，所以y'=-x/y，结论只在所考察分支y≠0处成立。高阶导数每次都对上一阶完整表达式继续求导。

我会追问的易错点

链式法则漏乘内层导数、乘积法则只求一项、商法则分子符号写反，是三类高频错误。隐函数中y是x的函数，对y²求导必须得到2yy'，而不是只写2y。

迁移到下一题

求y=e^{sin(x²)}的导数，明确标出三层函数及每层导数；随后计算x=0处结果并用函数奇偶结构反查。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。