数列极限

接住上一课

函数极限已经建立代数化简与对数化两条路线。数列极限只沿整数下标趋于无穷，但保号性、夹逼、单调有界和递推关系会成为新的重点。

教师带你完成主模型

考察 a_n=(2n+1)/(n+3)。分子分母同除以n，得(2+1/n)/(1+3/n)，所以极限为2。这里不是把n代成无穷，而是把表达式改写成由1/n控制的形式，再用极限四则运算。若分母极限为0，就不能直接使用商法则。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

递推数列不能只凭前几项猜极限。若已证明a_n单调且有界，才可断言极限存在；随后设极限为A并代入递推式。代入得到多个根时，还要结合值域、单调性或初值筛选。夹逼法则则要求上下界都趋向同一数。

我会追问的易错点

最常见错误是由‘有界’单独推出收敛，或先假定递推数列有极限再反推。正确逻辑是先证存在，再求可能值。对含(-1)^n的数列要检查奇偶子列；两子列极限不同，则原数列不收敛。

迁移到下一题

证明a_n=1+1/2+⋯+1/n-ln n有极限时，先比较相邻差并寻找上下界；说明每一步究竟用于单调还是有界。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。