直积初步：把两个独立对称系统并在一起

本课要解决的问题

两个群分别描述两个自由度时，怎样组成一个新群并计算元素周期？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

群 G 与 H 的直积 G×H 由有序对 (g,h) 组成，按分量运算：(g₁,h₁)(g₂,h₂)=(g₁g₂,h₁h₂)。单位元为 (e_G,e_H)，逆元为 (g⁻¹,h⁻¹)。有限时 |G×H|=|G||H|。

推导主线

若 g、h 的阶分别为 m、n，则 (g,h)ᵏ=(gᵏ,hᵏ)；它等于单位元当且仅当 m|k 且 n|k，因此 (g,h) 的阶是 lcm(m,n)。所以 Z_m×Z_n 在 gcd(m,n)=1 时由 (1,1) 生成，是循环群；不互素时通常不是。

完整例题

在 Z₄×Z₆ 中，(1,1) 的阶为 lcm(4,6)=12，而整个群有24个元素，所以它不能生成整个直积。相比之下 Z₄×Z₅ 有20个元素，(1,1) 的阶也是20，故为循环群。

严格边界

直积的元素是有序对，不是把两个集合简单混在一起。元素阶一般不是两分量阶的乘积，只有分量阶互素时 lcm 才等于乘积。

课后闭环

计算 Z₆×Z₁₀ 中 (2,5) 的阶；判断 Z₆×Z₅ 是否循环，并给出生成元证据。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。