生成元与生成子群：从少量动作得到全部可达状态

本课要解决的问题

给定一个或几个元素，反复运算和取逆究竟能到达哪些元素？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

由子集 S 生成的子群 ⟨S⟩ 是包含 S 的最小子群，也等于所有由 S 中元素及其逆元组成的有限乘积。单个元素 a 生成 ⟨a⟩={aⁿ:n∈Z}，称循环子群。生成集描述的是结构的压缩指令，不要求表示唯一。

在模 n 加法群 Z_n 中，⟨a⟩={ka mod n:k∈Z}。它的元素个数为 n/gcd(n,a)。因为最小正整数 k 使 ka≡0 mod n，等价于 n|ka，最小 k 正是 n/gcd(n,a)。

在 Z₁₂ 中，从8反复相加得到 0,8,4,0，因此 ⟨8⟩={0,4,8}，阶为 12/gcd(12,8)=3。虽然8不是4，但它们生成同一个子群。

生成子群不是只允许正次幂的半群；必须包含逆元和单位元。多生成元情形若群不交换，生成词的次序不能任意调整。

列出 Z₁₅ 中 ⟨6⟩ 的全部元素，再用 n/gcd(n,a) 验证个数；比较 ⟨3⟩ 与 ⟨6⟩ 是否相同。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。