子群判定：一个子集何时继承全部群结构

本课要解决的问题

从群中挑出一些元素，怎样避免重新逐条验证四条公理？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

子群 H≤G 是在 G 的同一运算下自身也成群的非空子集。结合律自动继承，因此有限情形可检查单位元、封闭与逆元；更紧凑的一步判定是：H 非空，且对任意 a,b∈H 都有 ab⁻¹∈H。加法群中它写成 a-b∈H。

推导主线

若一步判定成立，取 a=b 得 e=aa⁻¹∈H；再取 a=e 得 b⁻¹∈H；已有 b⁻¹∈H 后，对 a 与 b⁻¹ 使用判定，得到 a(b⁻¹)⁻¹=ab∈H。于是单位元、逆元和封闭性都得到。反向则直接来自子群的封闭与逆元。

完整例题

偶整数 2Z 是整数加法群 Z 的子群：它非空，且 2m-2n=2(m-n) 仍为偶整数。正整数不是 Z 的子群，因为不含0，也不含加法逆元。

严格边界

必须使用母群的同一运算。集合 H 在自己另造的运算下成群，并不能推出它是 G 的子群；只验证若干样例也不能代替任意元素判定。

课后闭环

分别判定 3Z、非负整数、模8加法中的 {0,4} 是否为子群，并明确写出母群、运算与一步判定。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。