子群格：用包含关系看见结构的骨架

本课要解决的问题

只列出子群还不够，怎样表达它们之间的包含、交与共同生成？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

群的全部子群按包含关系形成子群格。任意子群族的交仍是子群；两个子群 H,K 的交 H∩K 是共同下界，包含 H∪K 的最小子群 ⟨H∪K⟩ 是它们的生成上界。H∪K 通常不是子群，除非 H⊆K 或 K⊆H。

推导主线

循环群 Z_n 的子群格与 n 的正因数格对应：d 阶子群包含于 e 阶子群，当且仅当 d|e。因而可把抽象包含问题化为整除问题；交的阶对应 gcd，生成上界的阶对应 lcm。

完整例题

12 的正因数为1,2,3,4,6,12，所以 Z₁₂ 恰有6个子群。2阶子群包含于4阶和6阶子群；3阶子群包含于6阶子群；4阶与6阶子群共同生成整个12阶群。

严格边界

子群格只记录包含关系，不自动记录群内全部乘法。非循环群可能有多个同阶子群，因此不能只用阶来命名节点。

课后闭环

画 Z₁₂ 子群格并标出每个子群的元素；用具体集合验证4阶与6阶子群的交是2阶子群。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。