涨落与响应

上一课计算的费米占据是许多次观测的平均值，单次粒子数和能量仍会起伏。如今给一块顺磁样品施加很小磁场，磁化率可以直接从斜率测量；令人意外的是，关掉外场后记录到的自发磁化噪声已经包含同一信息。本课只建立这座桥：近平衡响应系数由无场涨落决定。

从 $N$ 个互不作用的二态磁矩开始，每个 $s_i=\pm 1$，外场能量写成 $E=-h{\sum }_i{s}_i=-hM$。单自旋配分函数为 $2\cosh (\beta h)$，于是

$$\langle M\rangle
=N\tanh(\beta h).$$

对外场求导得磁化率

$$\chi=\left.\frac{\partial\langle M\rangle}{\partial h}\right|_{h=0}
=\beta N.$$

无场时正负自旋等概率，$⟨M⟩=0$，而独立变量方差相加给 $⟨(\Delta M{)}^2⟩=N$。因此

$$⟨(\Delta M{)}^2⟩=k_{B}T\chi .$$

宏观平均为零并不表示样品每刻磁化都为零；噪声宽度正是它容易被微弱外场偏置的程度。

取 $N=400$。无场采集一千个已经去除自相关的构型，样本给 $\overline{M}=0.3$、$\overline{(M-\overline{M}{)}^2}=396$，与理论均值零、方差四百接近。再施加无量纲小场 $x=\beta h=0.0200$，理论预测

$$⟨M⟩=400\tanh (0.0200)=\mathrm{7.99893.}$$

实验平均若为 $8.1$，无场方差估计的均值标准误约为 $\sqrt{396/1000}=0.629$，两者相差仅零点一六个标准误，线性响应没有被拒绝。有限场的斜率 $d⟨M⟩/dx=N{\mathrm{sech}}^{2}x=399.840$，也仍接近无场方差四百。

这里“一千个样本”必须真有约一千个独立信息。若相邻读数相关，应用自相关时间折算有效样本量；仪器零漂会制造低频大方差，却不会按温度和外场响应关系缩放。另一个错解是把 $⟨M^2⟩$ 当方差，在非零场忘记减 $⟨M{⟩}^2$。增大驱动后 $\tanh x$ 明显弯曲，也不能继续用原点斜率解释。

迁移题：$N=900$ 的独立自旋处在 $x=0.0100$，求平均磁化与该点对 $x$ 的响应斜率。答案

$$⟨M⟩=900\tanh (0.0100)=8.99970,$$

$$\frac{d\langle M\rangle}{dx}
=900,{\rm sech}^2(0.0100)=899.910.$$

无场标准差为三十，单次涨落能大于小场平均信号，必须靠多次平均识别响应。下一课让自旋彼此耦合；独立方差相加将失效，关联增长最终产生集体相变。