微观态与宏观态

热学课程已经会用温度、压强和熵描述一杯气体，却没有追问：同一个宏观状态下面，分子究竟可以怎样排列？先做一个最小模型。四个可区分粒子各自在盒子左半边 L 或右半边 R，一次完整记录如 LLRR，叫一个微观态；只记录右边有几个粒子 $n_{R}$ ，叫一个宏观态。本课唯一的新困难，就是不再把这两种“状态”混为一谈，并学会数出一个宏观态包含多少微观态。

四个粒子各有两种位置选择，所以总微观态数为 $2^{4} = 16$ 。若宏观条件是 $n_{R} = 2$ ，只需从四个粒子中选两个在右边，重数为

$Ω (4, 2) = (2 4) = \frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6.$

六个具体微观态是 RRLL、RLRL、RLLR、LRRL、LRLR、LLRR。若 $n_{R} = 4$ ，则只有 RRRR 一个微观态。这里“粒子可区分”很重要：RLRL 与 LRRL 对应不同编号粒子的位置，不是同一个排列。

假设每个粒子独立地以相同机会落在左右两边，十六个微观态等可能。第一步数重数，第二步除以总态数，于是

$$P(n_R=2)=\frac6{16}=0.375,\qquad
P(n_R=4)=\frac1{16}=0.0625.$$

平衡附近的宏观态更常见，不是因为系统“偏爱中间”这一句口号，而是因为实现它的微观办法更多。Boltzmann 关系把这种计数写成熵：

$S = k_{B} ln Ω.$

在这个小模型中，从全部在右边变到左右各半，熵增加

$Δ S = k_{B} ln 6 = 1.792 k_{B} .$

这给热学中的熵一个微观意义：宏观约束越宽松，可兼容的微观态通常越多。对一百个粒子，左右各五十个的重数 $(50 100) \approx 1.009 \times 1 0^{29}$ ，而全部在一边仍只有一种；大系统中这种重数差异会变得压倒性。

常见错解是把“宏观态有五种”误当成五种宏观态等概率。 $n_{R} = 0, 1, 2, 3, 4$ 的确有五个取值，但对应重数为 $1, 4, 6, 4, 1$ ，概率不同。另一个错误是把 $Ω$ 当成有单位的体积；它是计数， $ln Ω$ 才能进入熵。自检时把所有宏观重数相加，必须回到 $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ 。

练习：六个可区分粒子独立选择左右两边，宏观态 $n_{R} = 2$ 有多少个微观态？概率和熵是多少？答案：

$Ω = (2 6) = 15, P = \frac{15}{64} = 0.234375, S = k_{B} ln 15 = 2.708 k_{B} .$

重数总和还应满足 $\sum_{n = 0}^{6} (n 6) = 64$ 。下一课不再逐项列出微观态，而要用二项分布直接描述大量粒子的宏观涨落，并解释为什么相对涨落会随系统变大而消失。

微观态与宏观态

微观态与宏观态

本课练习