Bose–Einstein 统计

上一课的 Maxwell 分布把分子视为可分辨的经典粒子，在每个单粒子态占据很小时十分有效。若冷却全同整数自旋粒子，交换两个粒子不产生新的物理状态，同一量子态还可以容纳任意多个粒子。今天只引入这项统计后果：平均占据的分母由经典指数变成“指数减一”。

对能量为 ${ϵ}_i$ 的单粒子态，允许粒子数 $n=0,1,2,\dots$。在温度 $T$、化学势 $\mu$ 下，该态的巨配分函数是一条几何级数：

$$\Xi_i=\sum_{n=0}^{\infty}
e^{-\beta n(\epsilon_i-\mu)}
=\frac1{1-e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}}.$$

由 ${\bar{n}}_i=(1/\beta )\partial \ln {\Xi }_i/\partial \mu$ 得

$${\bar{n}}_i=\frac{1}{e^{\beta ({ϵ}_i-\mu )}-1}.$$

为了让级数收敛，粒子数守恒的理想玻色气体必须有 $\mu$ 低于最低单粒子能量。分母里的减一使低能态占据相对经典结果增强，这就是玻色聚集，不是粒子之间额外存在吸引力。

看一个三能级样本，能量为 $0,ϵ,2ϵ$，每级暂取无简并。设 $\beta ϵ=\ln 2$、$\mu =-ϵ$，则三个指数分别为 $2,4,8$，平均占据为

$$\bar n_0=\frac1{2-1}=1,\quad
\bar n_1=\frac1{4-1}=\frac13,\quad
\bar n_2=\frac1{8-1}=\frac17.$$

总平均粒子数为 $1+1/3+1/7=1.47619$。相应的经典稀薄近似会给 $1/2,1/4,1/8$，总数只有零点八七五；低态占据已经不小，经典近似自然失败。若给某能级两重简并，总粒子数贡献应为 $g_i{\bar{n}}_i$，而不是擅自修改单态占据公式。

计算反馈有三个关口。其一，若写出 $\mu$ 高于基态，基态分母可能为负，说明化学势求解越过物理边界；其二，固定总粒子数时不能任意指定 $\mu$，应数值调节它直到 ${\sum }_i{g}_i{\bar{n}}_i=N$；其三，“无占据上限”不等于平均占据必为无穷，只有当 $\mu$ 逼近基态能量时才会宏观增大。光子数不守恒，平衡时 $\mu =0$，需要与守恒原子气体分开讨论。

飞行时间实验中可把宽热背景与动量零点附近的窄峰分离，改变温度后检查粒子数闭合；探测饱和会把真正的峰削平，误判凝聚分数。迁移题：仍取三能级和 $\mu =-ϵ$，但 $\beta ϵ=\ln 3$。答案为

$$\bar n=(1/2,\ 1/8,\ 1/26),\qquad
\bar N=0.66346.$$

降温后在固定这个负化学势的设定下总占据下降；若实验固定粒子数，$\mu$ 会随温度重新调整。下一课保留“全同量子粒子”，把交换对称性换成反对称性，观察单态占据上限如何重塑低温分布。