二项分布与大数极限

上一课通过重数看出左右均分的宏观态更常见。但粒子数增到一百或一百万后，不能再枚举每条 L/R 字符串；新的困难是怎样直接算宏观计数的概率范围，并量化“大系统看起来稳定”究竟有多稳定。

若每个粒子独立，以概率 $p$ 在右边，$1-p$ 在左边，那么恰有 $n$ 个在右边需要三部分：选出这 $n$ 个粒子，指定的右边选择贡献 $p^n$，其余选择贡献 $(1-p{)}^{N-n}$。因此

$$P(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)p^n(1-p{)}^{N-n}.$$

二项分布的均值和方差为

$$\langle n\rangle=Np,\qquad
\operatorname{Var}(n)=Np(1-p).$$

取 $N=100,p=1/2$。第一步得到平均数 50，标准差

$${\sigma }_n=\sqrt{100(1/2)(1/2)}=5.$$

第二步用组合数求正好一半的概率：

$$P(n=50)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{50}\right)2^{-100}=\mathrm{0.07959.}$$

单个最可能值的概率只有约 8%，并不矛盾；平衡宏观区间包含许多相邻计数。把 $45\le n\le 55$ 的十一项相加，

$$P(45\le n\le55)=2^{-100}\sum_{n=45}^{55}\binom{100}{n}
=0.72875.$$

第三步看相对涨落。右侧比例 $x=n/N$ 的标准差是

$$\sigma_x=\frac{\sigma_n}{N}
=\sqrt{\frac{p(1-p)}N}.$$

$N=100$ 时为 0.05；$N=10^6$ 时只有 $5.0\times 10^{-4}$。绝对计数涨落从 5 增到 500，但相对于一百万粒子只占万分之五，这正是宏观密度稳定的统计来源。

本课的大数极限不是说涨落等于零，也不是说每次实验恰好得到均值。它说相对分布宽度按 $N^{-1/2}$ 缩小。若粒子间强关联，独立二项模型便失效，方差可能不再按 $N$ 墜放；临界点附近的大涨落正是后面要研究的现象。

容易犯的错误是把方差 $Np(1-p)=25$ 当成标准差 25，或把“至少”“至多”的端点漏掉。自检可验证分布关于 50 对称、全部概率之和为 1，并检查任何概率必须落在 0 与 1 之间。用正态近似时还应说明连续性修正，不能把近似小数伪装成精确组合数结果。

练习：$N=400,p=1/2$，求均值、标准差，并给出 $180\le n\le 220$ 的精确二项概率。答案：$⟨n⟩=200$、${\sigma }_n=10$，

$$P=2^{-400}\sum _{n=180}^{220}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{n}\right)=\mathrm{0.95977.}$$

区间约为均值左右两个标准差，正态近似的 0.9545 与精确值接近。下一课把“左右位置的等概率选择”换成能量不同的微观态，让小系统与恒温热库交换能量并导出正则分布。