证明策略：从定义、不变量到归纳

面对命题不要立即堆公式。先展开定义，列已知能控制什么、目标还差什么，再选择不变量、极值、归纳、构造、反证或双射等策略。证明方法应由结构驱动。

展开定义

“连续”“同构”“素数”“连通”都包含精确量词。把目标写成定义形式，往往会暴露需要构造的对象或需要给定的界。

不变量与单调量

操作过程题可寻找每步不变的奇偶、模类、总和或拓扑性质；若无严格不变量，寻找始终增减且有界的量，证明过程终止。

极值原理

从所有反例中选最小一个，利用最小性构造更小反例形成矛盾；或选最大/最小对象揭示局部结构。使用前要说明极值确实存在。

归纳的选择

普通归纳从 n到n+1，强归纳允许使用所有更小情况，结构归纳适合递归对象。基础情形和递推覆盖范围都不可省略。

辅助引理

主证明卡住时，把重复障碍提炼成独立引理。引理应比主命题更清楚、可复用，不是把困难换一个标题。

若多条策略都失败，回到小例子画出每步用了什么，检查目标是否过强或缺少中间结构。失败路径应写进研究日志，避免循环尝试同一想法。

练习：对一个组合恒等式分别尝试代数、双射和归纳证明，比较每种方法揭示的结构。