数学题库

小明早上有 3 个苹果，妈妈逛集市回来，又塞给他 2 个。

现在小明一共有几个苹果呀？伸出手指头数一数，再选一个答案！

每盒糖果里有 4 颗糖，小红买了 3 盒。

她一共带回来多少颗糖呢？（悄悄说：乘法就是加法的快捷键哦）

一个大披萨被平均分成了 4 块，块块一样大。小刚吃了其中的 1 块。

小刚吃了这个披萨的几分之几？

解方程：$2x+3=11$

x 等于多少？填一个数。

一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4。

它的斜边长是多少？

一个圆的半径是 2。

它的周长是多少？（π 取 3.14 来算，答案允许有一点点误差）

等差数列 $\{a_n\}$ 中，首项 $a_1=2$，公差 $d=3$。

求第 10 项 $a_{10}$ 的值。

设 $f(x)=x^3$。

求 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数值 $f^{\prime }(2)$。

书架上有 5 本互不相同的课外书，要从中选出 2 本带去春游。

一共有多少种不同的选法？（只填数字）

学长带你热个身。求极限：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$$

这是经典的「零比零」型，等价无穷小和洛必达法则都能拿下，随你挑顺手的。

答案填小数，保留两位小数。

求定积分：

$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$$

看到 $x$ 和 $x^2$ 同框出现，第一反应应该是换元 $u=x^2$ —— 积分里这种「凑出来的缘分」最值得抓住。

答案填小数，保留四位小数。

$e^x$ 在 $x=0$ 处做泰勒展开，$x^3$ 这一项的系数是多少？

别急着背结论，先想想展开式通项长什么样、阶乘藏在哪。

算一个三阶行列式，矩阵三行依次是：

| 1  2  0 |
| 0  3  1 |
| 2  0  1 |

按第一行展开最省事（那个 0 是白送的）。填一个整数。

矩阵 $A$ 是一个二阶方阵，第一行是 4、1，第二行是 2、3。

求 $A$ 的最大特征值。

老套路：写出特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$，你会得到一个一元二次方程。填一个整数。

向量 $u=(1,2,-1)$，向量 $v=(3,0,2)$。

它们的点积 $u\cdot v$ 等于多少？对应分量相乘再相加，注意符号。

同时掷两枚均匀的骰子，点数之和恰好等于 7 的概率是多少？

先想清楚：样本空间一共有多少个等可能的结果？其中「和为 7」的又有几个？

答案填小数，保留四位小数。

来一道会颠覆直觉的题。某种病在人群中的患病率是 2%。有一种检测：

• 真正患病的人，检测结果呈阳性的概率是 90%（灵敏度）；
• 健康的人，被误判为阳性的概率是 5%（假阳性率）。

现在小明检测呈阳性，他真的患病的概率是多少？

提示：别忘了分母里「健康但被误报」的那一大块。答案填小数，保留四位小数。

随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(10,0.3)$，也就是做 10 次独立试验、每次成功概率 0.3。

$X$ 的数学期望 $E(X)$ 是多少？注意别把期望和方差记混了。

设线性映射 T:V→W，dim V=7，dim ker T=3，则 rank T 是多少？

矩阵特征值为 2、-1、3，求行列式。

向量 (3,4) 在单位向量 (1,0) 上投影的长度。

4×6 矩阵秩为4，求零空间维数。

疾病率0.01，灵敏度0.9，假阳性率0.1。阳性后患病概率（小数，误差0.001）。

X期望2，Y期望-1，求E[3X-2Y]。

独立X,Y方差分别4和9，求Var(X+Y)。

95%置信区间的严格频率学解释是哪项？

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

用碗筷或积木演示一道「拿走又放回」的加减题

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先估再用尺子量家里餐桌的长度

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抓一把豆子先估后数，玩三次

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把一个苹果平均分给全家人

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玩一局「是不是」，10 问内猜出答案

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用豆子摆出 3×5 的阵列，再旋转 90 度观察

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用小棒演示 9+6 凑十、15-8 破十

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表演年龄魔术并解释为什么总是 5

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在家找出 5 种立体图形并说出名字

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在九九表里找 4 组积相同的算式

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在日历上找出三个数字规律

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在方格纸上画三个都占 6 格的不同图形

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用 17 颗豆子分别按 3 颗、5 颗一份分，记录余数

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用小棒数出 23 根并捆成 2 捆零 3 根

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两张一样大的纸分别折出 1/3 和 2/6 并叠比

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为什么读题时不能只圈出所有数字？

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多步过程逆推时，为什么要倒转操作顺序？

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玩「家庭超市」，孩子当收银员收钱找零

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记录今晚各件事的开始时刻，算吃饭用了几分钟

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画数学示意图最重要的要求是什么？

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调查全家爱吃的水果，画正字并画条形图

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怎样枚举才能尽量做到不重复、不遗漏？

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为什么估算不是精确计算的低级替代品？

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好的分类讨论要满足哪两个覆盖条件？

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两个小组平均数相同，为什么不能断定表现一样？

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单位在解题中除了表达结果，还有什么作用？

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一个完整的数学解答在得出数字后还要做什么？

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用绳子量一个圆形杯口的周长，再量直径，算一算周长除以直径，看是不是接近 3.14。

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找一项家里的收费（水电、停车、打车），写出它的一次函数式，标出 k 和 b 各是什么含义。

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和家长互相出题：一人说一个几何结论，另一人必须用「因为……所以……，依据是……」的句式论证。

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在纸上画一条数轴，标出 −4、−1.5、0、2、3.5，并把它们从小到大排队。

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心算 49×51 与 85×95（都用平方差思路），再写出各自用到了哪个「整十数」。

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用「两头夹」的办法估算 √5 到小数点后一位，并用计算器核对。

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用字母写出「长方形周长」公式，并算出长 7、宽 3 时的周长。

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在纸上画两个相似比为 1:2 的三角形，量一量它们的边验证比例，再算面积比。

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统计家里一周每天的垃圾袋数，算出平均数、中位数、众数，说说哪个最能代表「平常的一天」。

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解方程 5x − 7 = 3x + 9，并口头说出每一步用了哪条等式性质。

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拿一张纸实际对折，数层数记到第 7 次，再用乘方写出第 20 次的层数（不用算出结果）。

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写一张「数学思想卡片」：四种思想各配一个本课例题，贴在书桌前。

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找一个家里的预算场景（话费、购物、出行），设未知数列出不等式并求解。

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列方程组前为什么要先定义未知量和单位？

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用卷尺量家里一个墙角：两边各量 30、40 厘米，看斜边是不是 50 厘米，验证墙角是否为直角。

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编一道「面积已知、长比宽多几米」的花圃题，列出一元二次方程并求解。

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抛一个小球观察轨迹，画出它的抛物线草图，标出最高点（顶点）和对称轴。

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为什么验证很多具体例子仍不能代替证明？

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函数图像上的斜率在实际问题中代表什么？

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为什么几何图中“看起来相等”不能作为证明依据？

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测量并记录：从家到学校用不同速度各花多少时间，验证「速度×时间」是否大致恒定。

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用手机测角功能或量角器测一次仰角，配合步测距离，估出附近一棵树或一根灯杆的高度。

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方程两边同时平方后，为什么必须验根？

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为什么一个很大的便利样本仍可能不代表总体？

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真实问题的数学模型为什么要明确写出假设？

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图形边长放大 k 倍时，面积为什么放大 k² 倍？

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连续五次抛出反面后，下一次正面概率会自动变大吗？

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在方格纸上画 y=x²-3x+2 的图像，标出它和 x 轴的两个交点，并因式分解验证。

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找一首喜欢的歌，和家长聊聊：它里面藏着哪些正弦波（音高、音色和频率的关系）。

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用手机计算器分别算 sin(2×30°) 和 2×sin30°，亲眼看看两者差多少。

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画一画 f(x)=x² 的图像，再把整个图像向上平移 3 格，写出新函数的表达式。

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坐电梯或地铁时，感受启动和停下的瞬间——速度的变化率（加速度）就是「导数的导数」。

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找一朵花（或花的照片）数数花瓣，看它是不是斐波那契数（3、5、8、13、21……）。

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把快递纸箱沿棱剪开摊平，画出它的展开图，再折回去——体会立体与平面的互化。

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查一查家里的存款或理财：年利率 3% 复利，1 万元存 24 年大约翻几倍？

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拖着行李箱走 10 米，体会拉杆与地面夹角大和小（cos 值不同）时，手臂省力的差别。

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夜晚用手电照墙，改变手电角度，观察光斑从圆变成椭圆、再变成抛物线的过程。

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用计算器验算：1.05 的 14 次方和 15 次方各是多少？看看 14 年能不能翻倍。

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用手机里的调音器 App 对着钢琴或口琴吹一个音，看看频率是多少赫兹。

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拿一根 40 厘米的绳子在桌上围矩形，试几种长宽，量一量哪种面积最大——验证正方形最优。

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观察墙角：地面两条墙根线互相垂直。和家长聊聊，如果用向量怎么「证明」它们垂直。

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和家长算一笔账：每天存的钱翻倍（1 分、2 分、4 分……），30 天共存多少分？合多少元？

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晚上用手电正对墙照出圆形光斑，再慢慢倾斜，观察光斑变成椭圆——找出它的两个焦点在哪侧偏移。

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数学归纳法中为什么基础步骤不能省略？

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函数在某点没有定义，为什么该点的极限仍可能存在？

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为什么“所有人都通过”的否定不是“所有人都没通过”？

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拿一本书立在桌面上：先让它前后不歪，再左右不歪——体会为什么定理要求「两条相交直线」。

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参数分类讨论应该围绕哪些值划分区间？

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速度—时间图下的面积为什么给位移而不总是给路程？

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掷两颗骰子 50 次，记录点数和，看看「7」是不是真的出现最多。

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导数为零为什么不一定说明函数在该点取得极值？

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现实优化问题中，为什么不能一开始就直接求导？

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计算软件给出很多小数位，为什么不能全部当作可靠精度？

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一个可复现的数学建模项目至少要公开哪些内容？

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和家长讨论：为什么体检报告里的「某项指标异常」，医生常说「先别慌，复查一下」？用贝叶斯解释。

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从一副扑克牌抽两张（不放回），算一算两张都是红色的概率，再实际抽 20 次验证。

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设计一个抛硬币计分游戏（正面 +3 分，反面 -1 分），算出每局期望得分。

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抛一枚硬币 20 次，记录正面次数，算算频率，和 1/2 差多少。

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用排列组合算一算：从 6 本不同的书里选 2 本带去旅行，有多少种选法。

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随机抽 20 位家人朋友统计「每天运动多久」，算平均值，并讨论这个样本哪里可能偏。

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统计全家 20 位亲友的身高，看看是不是中间多、两头少（正态的样子）。

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用手机语音助手连续问三次同一个问题，观察它给出的回答或置信表现，想想背后的概率。

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统计家里 10 位亲友：会游泳的有几人、会骑车的有几人、两样都会的有几人，用容斥算出「至少会一样」的人数。

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和家长各估一个「周末晴天/雨天」的概率，再估两种情况下全家出游的概率，用全概率算总的出游概率。

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抛硬币 50 次记录正面比例，再抛 200 次记录，比较哪个更接近 0.5。

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记录一周每天写作业的分钟数，算出平均值和标准差，看看自己的发挥稳不稳。

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画一个边长 20 厘米的正方形，里面画一个最大的圆，闭眼撒一把豆子，数数圆内圆外各几粒，估估面积比。

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找出自己最近一次考试的成绩、班级平均分和大概的标准差，算一算自己的 z 分数。

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用转盘或骰子自制随机数，模拟抛 3 枚硬币 100 次，统计「恰好两正一反」的频率，和理论值 3/8 对比。

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95%置信区间为什么不能简单解释为真参数有95%概率在这个已算区间内？

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在新闻或广告里找一条带百分数的说法，用「三问」分析它，写下你的结论。

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预注册是否意味着分析计划绝对不能修改？

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自助法重复抽样很多次，为什么仍不能修复原样本的代表性偏差？

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p 值等于0.03为什么不表示零假设只有3%的概率为真？

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为什么扩大便利样本不能自动消除选择偏差？

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统计结果显著为什么不保证它具有实际重要性？

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和家长玩「二十个问题」：心里想一个动物，对方只用是非题猜，记录平均几个问题猜中——这就是在测量熵。

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贝叶斯后验结果为什么必须报告所用先验？

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找一条最近看到的「研究显示 A 与 B 有关」的新闻，和家长一起分析：它可能只是相关的理由是什么。

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给出“概率空间与事件代数”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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随机抽样和随机分配分别主要解决什么问题？

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统计项目为什么不能把获得显著结果作为成功标准？

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给出“联合分布与边缘分布”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“随机变量函数的分布”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“随机变量的可测直觉”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“条件分布与条件期望”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“次序统计量”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“特征函数与收敛”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“协方差矩阵”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“多元正态分布”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“估计量偏差和方差”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“矩估计与极大似然”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“似然比检验”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“似然与充分统计量”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“线性回归的概率模型”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“一致性与渐近正态”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“Cramér–Rao 下界”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“测度与积分的必要性”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“几乎处处与依概率收敛”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“贝叶斯决策与 MAP”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“大数定律的条件”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“方差分析与模型诊断”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“马尔可夫链与平稳分布”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“中心极限定理的条件”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“概率统计综合证明”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“布朗运动入门”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“泊松过程”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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给出“鞅与公平游戏”的核心不变量或定理条件，并构造一个能击穿错误解法的最小反例。

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和家长一起查菲尔兹奖的颁奖规则（几年一次、年龄上限），然后讲给对方听。

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把课本里的一个「为什么」改写成可研究的问题，并写三行研究设想。

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选一道做过的奥数题，说说它背后可能藏着哪个大学概念。

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列出正方形的8种对称操作，验证「旋转+翻转」交换顺序后结果不同。

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写一份「本月—本学期—一年后」三步数学学习计划，贴在书桌前。

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去求真书院官网读最新领军计划招生简章，圈出报名条件和选拔环节。

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用二分法把根号2逼近到小数点后两位，记录每一步的猜测区间。

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数出正方体、四面体、八面体的V、E、F，验证欧拉公式都等于2。

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用筛法找出100以内的全部素数并数一数个数（应为25个）。

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把五大方向做成五张卡片，给天气预报、导航、人脸识别等生活场景配对。

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和家长共抛50次硬币，分别算25次和50次的正面比例，体会大数定律。

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计算 1+1/2+…+1/1024，看它离2还差多少，并和调和级数的「爆炸」对比。

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用计算器对 $4x(1-x)$ 做20次迭代，比较0.4和0.400001两个起点的差距。

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用数学归纳法写出前n项求和公式的完整证明，并请家长检查每一步。

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在方格纸上画出(1,0)、(0,1)经「交换坐标」变换后的位置，描述这面「镜子」。

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计算 $(1+i{)}^2$，并在复平面上标出相关各点，观察「旋转」效果。

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给5点完全图的边染红蓝两色，构造一个无同色三角形的方案。

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完整做一道竞赛真题，并请家长扮演评委追问三个为什么，练习答辩。

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研究中找到反例为什么常常是进展？

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计算验证了一百万个例子，为什么通常仍不能证明全称命题？

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为什么证明开始时先展开定义往往有帮助？

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数学研究选题为什么需要主动缩小范围？

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为什么只因为自己没见过某个结论，不能称它是新发现？

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数学研究中引用他人结果为什么不会削弱自己的贡献？

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证明引用一个定理时，为什么必须核对全部前提？

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数学论文中的定理陈述为什么必须独立写全条件？

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答辩遇到不知道的问题时，最专业的处理是什么？

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在方格纸上画一个半圆，用数格子的办法估算它的面积，和公式结果比一比。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

拿 12 根火柴或筷子围长方形，列出所有整数边长的围法，验证正方形面积最大。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

速度恒为每秒 3 米，10 秒走多远？再用「导数」的语言反过来说一遍。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

用微分法估算 51²，再用计算器验证误差有多大。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

记录水壶烧水：每隔 30 秒读一次温度，算一算哪 30 秒升温最快。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

选一个话题（火箭、AI 或天气预报），查资料找出它用到微积分的一个具体环节，讲给家长听。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

烤饼干时分别做一次实验：固定时间改温度、固定温度改时间，比较哪个影响更大。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

找一找生活中的「跳跃」：阶梯电价、电梯楼层、红绿灯……举出两个间断的例子。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

用链式法则解释：为什么「每公里耗油 × 时速」能算出「每小时耗油」。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

把一个蛋糕按「每次吃掉一半」的规则往下分，写到第 10 次还剩几分之几？

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

动手算：1/2+1/4+1/8 一直加下去，和会超过 1 吗？写满 8 项看看。

完成本课后，请判断以下哪项最准确回答这个问题：

用泰勒级数前 3 项估算 e（取 x=1），看看离 2.718 有多远。