数列：离散的函数 · 高中数学

数列 = 只在整数点取值的函数。普通函数 $f (x)$ 里 $x$ 可以取任何实数，数列的 $a_{n}$ 里 $n$ 只能是 1、2、3……——像一串糖葫芦，一颗一颗数得清。

两种最重要的数列：

等差数列：每次加一个固定的数（公差）。存钱罐每天存 5 元：5、10、15、20……第 $n$ 天是 $a_{n} = 5 n$ 。
等比数列：每次乘一个固定的数（公比）。一个细胞每 20 分钟分裂成 2 个：1、2、4、8……10 小时后超过 10 亿个——又是指数的威力。

求和的智慧：数学家高斯小时候，老师让算 $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ 。他把首尾配对： $1 + 100 = 101$ ， $2 + 99 = 101$ ，共 50 对——答案 $50 \times 101 = 5050$ 瞬间得出。这就是等差数列求和公式 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ 的白话版：（首项+末项）× 个数 ÷ 2。

大自然里的数列：斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13……（每项 = 前两项之和），藏在向日葵种子的螺旋、松果的鳞片和许多花瓣的数目里——百合 3 瓣、梅花 5 瓣、不少雏菊 21 或 34 瓣。

常见误区：等比数列公比可以是负数！比如 1、-2、4、-8……会正负震荡，别看到「忽大忽小」就以为算错了。

练一练：用高斯配对法算 $1 + 2 + \dots + 50$ ，再算等比数列 3、6、12、24 的下一项。