三角函数：周期之美

从三角形到旋转的轮子。初中你在直角三角形里见过正弦：$\sin \theta =$ 对边/斜边。高中把它「放大」：让一根长度为 1 的杆绕原点旋转，杆尖的高度就是 $\sin \theta$，水平投影就是 $\cos \theta$。角度不再限于 0–90 度，可以任意转——三角函数从「三角形的比」升级成「旋转的坐标」。

周期：循环往复的美。杆转一圈回到原位，函数值也回到原值——正弦、余弦的周期是 $360^{\circ }$（即 $2\pi$ 弧度）。凡是有「循环」的地方就有三角函数：

• 交流电：家用电是 50 赫兹的正弦波，电压每秒上下波动 50 个来回。
• 音乐：音叉敲出的纯音就是一个正弦波；440 赫兹的正弦波就是标准音「la」。乐器的音色 = 许多正弦波的叠加。
• 潮汐与摩天轮：潮位涨落、座舱高度，画出来都是正弦曲线。

两个要背的值：$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$——都来自「半个等边三角形」。

常见误区：$\sin (\alpha +\beta )$ 不等于 $\sin \alpha +\sin \beta$！验证：$\sin 90^{\circ }=1$，但 $\sin 60^{\circ }+\sin 30^{\circ }\approx 0.866+0.5=1.366$。角度不能直接「拆开发放」。

练一练：摩天轮的座舱高度 h 随时间 t 变化，画出它的大致曲线——应该是什么形状？