唯一性推出正规性：用 Sylow 数量判断结构

本课要解决的问题

为什么 n_p=1 不只是计数结果，还立即给出正规子群？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

所有Sylow p-子群互为共轭。若 n_p=1，唯一的 P 在任意共轭下只能回到自身，所以 P◁G；反之正规Sylow子群的所有共轭都等于自身，故唯一。数量约束因此可转成正规性与商群结构。

推导主线

15=3·5。n₅整除3且模5余1，只能为1；n₃整除5且模3余1，候选因数1、5中只有1模3余1，所以也为1。两个Sylow子群都正规，交为单位元；进一步可证明群同构于它们的直积并为循环群。

完整例题

对21=3·7，n₇整除3且模7余1，只能为1，所以7阶子群正规；n₃可为1或7，需要额外信息。即使只确定一个正规Sylow子群，也足以显著约束群结构。

严格边界

只有Sylow子群的唯一性与正规性等价；一个较小p-子群唯一也可能需另证。由一个Sylow子群正规不能直接推出群是直积。

课后闭环

对33、35、45阶群分别用n_p约束找出必正规的Sylow子群；再说明还缺什么条件才能断言整个群循环。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。