第三 Sylow 定理：子群个数的同余与整除夹逼

本课要解决的问题

不列出全部元素，怎样仅由群阶缩小 Sylow p-子群数量的可能性？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

若 |G|=p^a m、p∤m，Sylow p-子群个数 n_p 满足 n_p≡1 (mod p) 且 n_p|m。第二个条件来自共轭作用：Sylow子群组成一个共轭轨道，其大小是某个正规化子的指数。

推导主线

G 以共轭作用在 Sylow p-子群集合上，由第二定理作用传递，所以 n_p=[G:N_G(P)]。P≤N_G(P)，故指数整除 [G:P]=m。再让 P 自身共轭作用于该集合，P 是一个固定点，其余轨道大小为 p 的正幂，得到 n_p≡1 mod p。

完整例题

|G|=56=7·8。n₇必须整除8且模7余1；8的因数中只有1与8符合，所以 n₇∈{1,8}。定理把无限猜测压缩成两个候选，但未单独决定是哪一个。

严格边界

必须同时使用整除和同余条件；只用一个通常太弱。候选值满足数论约束仍不保证每个值都可由某个群实现。

课后闭环

分别求24阶群的n₃候选、40阶群的n₅候选、63阶群的n₇候选，并指出何时已被迫唯一。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。