第一 Sylow 定理：最大 p-子群为何必然存在

本课要解决的问题

Lagrange 定理只限制可能阶，凭什么保证 p^a 阶子群一定出现？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

第一 Sylow 定理断言：若 p^a 整除 |G|，则 G 含有阶 p^a 的子群。更强地，对每个0≤b≤a，也存在阶 p^b 的子群。证明可通过群作用、类方程与归纳把计数同余转成结构存在性。

推导主线

入门证明思路是让 G 作用在特定大小的子集或陪集结构上，利用轨道大小为 p 的幂及总数模 p 的性质，迫使出现稳定子含更大 p-部分的轨道。不断放大已有 p-子群，直到阶达到 p^a。关键是‘存在’来自计数不能全部被 p 整除。

完整例题

20=2²·5，所以任何20阶群都存在4阶Sylow 2-子群和5阶Sylow 5-子群。定理不要求先知道群是交换、循环或某个熟悉对称群。

严格边界

存在性不等于唯一性；同一 p 可有多个 Sylow p-子群。定理也不说不同素数的 Sylow 子群能直接相乘为整个群，正规性和相互作用仍需判断。

课后闭环

只根据群阶，对45、56、90阶群写出第一定理保证存在的Sylow子群；区分‘保证存在’与‘数量唯一’。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。