左右陪集：同样分块为何可能不对齐

本课要解决的问题

非交换群中，为什么从左平移与从右平移可能产生不同的块？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

左陪集 gH 与右陪集 Hg 分别由左乘和右乘得到。两套陪集都把 G 分成 |H| 大小的块，因而指数相同，但具体块未必相等。若对所有 g 都有 gH=Hg，则 H 称为正规子群；这一条件将允许下一章把陪集本身做成群。

在 S₃ 中取 H=⟨(12)⟩={e,(12)}，令 g=(123)。按置换复合逐点计算，gH={g,g(12)}，Hg={g,(12)g}；由于 g(12)≠(12)g，两块不同。差异正来自运算不交换。

S₃ 有6个元素，H 有2个元素，所以无论左陪集还是右陪集都各有3块。块数相同来自 Lagrange 定理，块的成员不同则暴露 H 在共轭下不稳定。

左陪集不等于右陪集并不破坏 Lagrange 定理；两边仍分别形成等大小划分。交换群的所有子群都正规，但非交换群也可能有正规子群。

明确采用右到左的置换复合约定，列出 S₃ 中 H=⟨(12)⟩ 的三组左陪集和三组右陪集，圈出不相等的一对。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。