Lagrange 定理：等大小分块为何导出整除性

本课要解决的问题

有限群中，子群的大小为什么一定整除母群的大小？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

有限群 G 的左陪集把 G 划分为若干个等大的块，每块大小为 |H|。陪集个数记为指数 [G:H]。计数分块立即得到 |G|=[G:H]|H|，所以 |H| 整除 |G|。定理的核心不是公式，而是双射与分划。

推导主线

第一步证明 h↦gh 是 H→gH 的双射；第二步证明任意两个左陪集相同或不交；第三步注意每个 g∈G 都落在 gH 中，因此陪集覆盖 G。有限集合按 [G:H] 个、每个 |H| 元素的块计数，结论成立。

完整例题

若 |G|=24 且 |H|=6，则 [G:H]=24/6=4。反过来，24阶群不可能有5阶子群，因为5不整除24；这只排除不可能阶，并不保证每个因数都一定对应子群。

严格边界

Lagrange 定理的逆命题一般不成立：d 整除 |G| 并不自动保证存在 d 阶子群。无限群中不能直接用有限整数除法表达基数关系。

课后闭环

为30阶群列出子群可能的阶；再明确区分“可能”和“必然存在”。用陪集分块重写一遍证明，不只引用定理名。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。