陪集：用一个子群给整个群分块

本课要解决的问题

已知局部子群 H，怎样系统地描述母群中所有与 H 同形的平移块？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

设 H≤G。元素 g 的左陪集是 gH={gh:h∈H}，右陪集是 Hg={hg:h∈H}。映射 h↦gh 是 H 到 gH 的双射，所以每个陪集与 H 等势。两个左陪集要么完全相同，要么不相交；因此全部左陪集把 G 分成互不重叠的块。

推导主线

若 g₁H 与 g₂H 有公共元素，则存在 h₁,h₂∈H 使 g₁h₁=g₂h₂，于是 g₂⁻¹g₁=h₂h₁⁻¹∈H。由此 g₁∈g₂H，进一步得到 g₁H=g₂H。反之，相同自然相交。这证明陪集关系确实给出一个等价关系。

完整例题

在加法群 Z₁₂ 中取 H=⟨4⟩={0,4,8}。四个陪集为 H、1+H={1,5,9}、2+H={2,6,10}、3+H={3,7,11}。它们每块3个元素，恰好覆盖12个元素。

严格边界

陪集一般不是子群：1+H 不含加法单位元0。陪集代表元不唯一，例如 1+H=5+H；真正有意义的是整块，而不是给块选的名字。非交换群中左、右陪集可能不同。

课后闭环

在 Z₁₈ 中取 H=⟨6⟩，列出全部陪集；逐一验证不同代表元何时给出同一陪集，并画出分块。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。