Cayley 表与元素的阶：从局部运算识别整体结构

本课要解决的问题

只给一张运算表，怎样判断它是否可能来自群，并读出元素周期？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

有限群的 Cayley 表以行元素乘列元素填格。由于左乘和右乘都是双射，每一行、每一列都恰好出现每个群元素一次。单位元所在行和列原样列出表头。元素 a 的阶是最小正整数 n，使 aⁿ=e。

推导主线

若 a 的阶为 n，则 e,a,…,aⁿ⁻¹ 两两不同；否则 aⁱ=aʲ（i<j）两边乘逆元会得到 aʲ⁻ⁱ=e，与 n 最小矛盾。因而这些幂形成一个循环子结构，也解释了周期计算为何不是偶然重复。

完整例题

模4加法群 {0,1,2,3} 中，单位元是0。元素1依次生成1,2,3,0，阶为4；元素2依次生成2,0，阶为2。表的每行都是上一行的循环平移。

严格边界

拉丁方性质是群表的必要条件，却不足以单独保证结合律。元素的阶必须从单位元开始判断，不能把第一次出现任意重复误作答案。

课后闭环

写出模4加法完整 Cayley 表，圈出单位元与每个元素的逆元；再求所有元素的阶，检查每行每列是否无重复。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。