从对称到变换：研究对象不是图案，而是操作

本课要解决的问题

正方形转过以后看起来没变，我们究竟在比较什么？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

给四个顶点依次标记 1,2,3,4。一次对称不是一张相似图片，而是顶点集合到自身的双射。保持正方形的距离和邻接关系的双射共有八个：四个旋转与四个反射。把变换写成函数后，“连续做两次”就成为函数复合。

推导主线

记顺时针旋转 90° 为 r，水平轴反射为 s。恒等变换记 e。连续旋转给出 r²、r³、r⁴=e；反射两次给出 s²=e。每个合法操作都有撤销它的操作，例如 r 的逆是 r³。八个操作可写成 e,r,r²,r³,s,rs,r²s,r³s。

完整例题

先做 r，再做 r³，合成结果为 r³r=r⁴=e；所以两次操作把所有顶点送回原位。若只说“图形没变”会丢失过程，而用变换可以准确比较不同操作。

严格边界

对称变换必须保持研究对象规定的结构。把正方形任意压扁虽然仍是函数，却不保持距离，因而不是这里的对称。复合顺序也不能随意交换。

课后闭环

画出标号正方形，对八个变换逐一记录 1 的像；再检查任意两个变换复合后是否仍在这八个变换中。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。