置换与复合：把动作压缩成可计算的记号

本课要解决的问题

面对很多对象，怎样不画图也能准确合成两个重排？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

有限集合上的双射称为置换。两行记号记录每个元素的像；循环记号 (1 2 3) 表示 1→2、2→3、3→1。互不相交的循环可交换，且每个置换都能分解为互不相交循环。循环长度的最小公倍数给出该置换的阶。

推导主线

采用函数复合约定：στ 表示先做 τ，再做 σ。计算时逐点追踪，而不是按纸面从左到右猜。例如 σ=(1 2 3)，τ=(1 2)，则 στ 把 1 经 τ 送到2，再经 σ 送到3，所以 στ(1)=3。继续追踪得到 στ=(1 3)。

完整例题

令 π=(1 2 3)(4 5)。两个循环不相交，π 的阶是 lcm(3,2)=6；做六次以后所有元素回到原位，而少于六次不会同时让两个循环复位。

严格边界

循环记号不是普通乘法。相交循环通常不可交换；复合约定必须在解题开头写清。只有双射才是置换，漏像或重复像都不合格。

课后闭环

分别逐点计算 (1 2 3)(1 2) 与 (1 2)(1 2 3)，比较结果；再把一个五元置换分解成不相交循环并求阶。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。