贝叶斯推断：先验、似然与后验预测

贝叶斯推断把未知参数表示为概率分布，通过似然用数据更新先验得到后验。它能直接回答参数位于某区间的后验概率，但结论依赖模型和先验，不能因使用贝叶斯公式就自动客观。

先验的角色

先验可表达历史知识、物理范围或正则化。弱信息先验限制不合理极端，强先验则需更充分依据。应在看当前结果前确定，并报告来源。

似然不是参数概率

似然把观察数据固定，比较不同参数产生该数据的相对支持。它不需对参数积分为1；与先验相乘并归一化才得到后验。

可信区间

95%后验可信区间在给定数据、先验和模型下可解释为参数有95%后验概率落入。它与频率学派置信区间数值可能接近，但逻辑不同。

后验预测检查

从后验参数生成复制数据，比较关键统计量与真实数据。若模型无法复现分布尾部、零值或组间结构，参数区间再精确也应怀疑模型。

先验敏感性

用几组合理先验重算，观察结论是否改变。数据少时先验影响本就更大，应明确，而非藏在默认设置里。

计算方法也需诊断：MCMC要检查多链混合、有效样本量和收敛，不能把软件输出表直接当后验已算准。

练习：用Beta–Binomial模型更新成功率，比较三种先验，并做后验预测与敏感性报告。