估计量与自助法：从一个样本看波动

样本均值、比例和中位数都是总体参数的估计量。估计量本身也是随机变量：换一批样本会得到不同结果。统计推断的核心不是只报一个点，而是描述这种抽样波动。

偏差与方差

无偏估计量长期平均等于真参数，但单次可能波动很大；略有偏差的估计若方差显著更小，均方误差反而更好。评价不能只看“无偏”一个标签。

标准误

标准差描述个体数据分散，标准误描述估计量跨样本的波动。样本量增加时均值标准误通常按平方根速度下降，样本扩大四倍才约减半。

自助法

从现有样本有放回重抽相同大小，重复计算统计量，用重抽分布近似抽样分布。它适合解析公式困难的中位数、复杂指标等。

自助法的限制

原样本必须较能代表总体；极小样本、强相关时间序列、极端尾部和边界参数下，普通自助法可能失真。相关数据需块自助等专门方法。

可复现计算

记录重抽次数、随机种子和区间方法。重抽一万次减少蒙特卡洛噪声，却不能纠正原始抽样偏差。

比较不同随机种子得到的标准误，若变化仍很大，应增加重抽次数；再与有解析公式的均值标准误对照，确认实现。重抽单位必须匹配抽样单位，整班抽样就不能把学生当完全独立个体随意重抽。

练习：对一组偏态数据比较均值与中位数的自助标准误，并改变样本量观察稳定性。