稀疏矩阵：只存非零项的工程

网页、有限元网格和推荐系统的矩阵维度巨大，却只有少量非零元素。稀疏表示只保存非零值及其位置，使原本无法装入内存的问题可计算；但算法和存储格式必须配合。

常见格式

COO保存行、列、值三数组，便于构建；CSR按行压缩，适合矩阵乘向量和行访问；CSC按列压缩，适合列操作。转换有成本，按主要计算模式选择。

零不是缺失

推荐矩阵中“没有评分”不一定表示评分为0。若把未知值填0，会改变目标和偏差。稀疏结构的语义必须与数学零区分。

填充现象

稀疏矩阵做高斯消元或分解时，原来为零的位置可能出现非零，叫填充。重新排列变量可显著减少内存和计算，矩阵稀疏不保证分解也稀疏。

复杂度看非零数

稀疏矩阵—向量乘成本通常与非零项数量成正比，而非维数平方。基准测试要报告维度、非零数、分布和硬件，单一规模结论不能外推。

不要过早稀疏化

小而密的块可能用稠密算法更快；频繁随机插入CSR也低效。先理解数据流，再决定构建、压缩和计算阶段。

还要警惕稀疏矩阵在广播、加常数或某些分解时悄悄变稠密，操作前估算峰值内存，并在小数据上检查返回类型。

练习：把一个小图邻接矩阵写成COO与CSR，手算矩阵—向量乘，并比较存储数量。