迭代解法：大系统不必显式求逆

面对数百万未知量的稀疏系统，存储完整矩阵或求逆都不现实。迭代法从初始猜测出发，反复用矩阵—向量乘逼近解；很多算法甚至只需要一个“输入向量后返回 Av”的算子。

为什么不求逆

解 Ax=b 应使用分解或迭代，不必计算 A⁻¹。显式逆通常成本更高、存储更大且误差更多；需要多个右端项时也可复用分解。

它们把对角部分与其余部分拆开更新，容易理解，但是否收敛取决于矩阵结构。对角占优常是有利条件，不可见到迭代就默认会收敛。

对对称正定矩阵，共轭梯度在一系列共轭方向上减少二次型误差，能在远少于维数的步数得到好近似。矩阵不满足前提时不能直接套用。

构造容易求解的 M，使预条件系统条件更好。预条件器不改变目标解，却能显著减少迭代次数；建立它也有成本，需要权衡。

残差小、相对残差小、连续变化小各有局限。还应设置最大迭代数并监测停滞；问题病态时需结合条件评价真实误差。

实现时保存残差历史，异常上升可尽早暴露前提不满足、预条件器错误或浮点问题。

练习：对离散一维泊松方程比较直接法、Jacobi和共轭梯度的误差与迭代次数。