基与坐标：换把尺子量世界

坐标其实是你选的

向量 (3, 4) 的 3 和 4 不是天生的，是相对于「横轴、竖轴」这套尺子报出来的。这套尺子叫基——一组能拼出整个平面、又不互相复读的向量。

类比：地图的朝向

地图默认「上北下南」，开车导航却常用「车头朝上」模式：同一个位置，两套坐标。换基就是换描述世界的角度，世界本身纹丝不动。

具体例子

标准基 (1, 0)、(0, 1) 之下，(1, 1) 的坐标就是 (1, 1)；改拿 (1, 1) 和 (-1, 1) 当基，同一个向量的坐标变成了 (1, 0)。向量没变，报数方式变了。

为什么要折腾换基

因为选对基，难题瞬间变简单：研究沿斜面滚下的球，把一根坐标轴贴着斜面放，受力立刻好算。后面两讲的对角化和 SVD，本质都是「找到最好的那套基」。

常见误区：基要够用且不浪费

两个向量撑起整个平面，前提是它们不共线；一旦共线，等于一条腿复读另一条，就撑不满了。

练一练：用基 (1, 1) 和 (1, -1) 表示向量 (3, 1)：要几个 (1, 1) 加几个 (1, -1)？