二次型的正定性及其判断

接住上一课

合同与惯性给出二次型的符号结构。正定要求任意非零x都有x^TAx>0，可通过特征值、顺序主子式或配方判断。

教师带你完成主模型

A=[[2,1],[1,2]]的顺序主子式Δ1=2、Δ2=3均正，因此A正定；其特征值1、3也都正，最小特征值为1。两种判据结论一致。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

实对称A正定等价于全部特征值正、所有顺序主子式正、存在可逆C使A=C^TC。负定的顺序主子式符号交替。半正定不能仅靠顺序主子式简单照搬。

我会追问的易错点

只检查detA>0就判正定、矩阵非对称仍直接套Sylvester判据、把半正定当正定，是三类错误。二阶时还需a11>0与detA>0共同成立。

迁移到下一题

讨论[[1,a],[a,1]]随参数a的正定范围，并用顺序主子式与特征值两种方法核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 实对称矩阵正定 ⇔ 特征值全正 ⇔ 顺序主子式全正；合同保持正负惯性指数。边界：合同不等于相似。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。