二次型的定义及其矩阵表示

接住上一课

相似对角化研究线性变换，二次型研究齐次二次多项式及其在可逆变量替换下的形状。矩阵表示必须使用实对称矩阵。

教师带你完成主模型

f=2x1²+4x1x2+3x2²写成x^TAx，其中A=[[2,2],[2,3]]，因为交叉项系数4要平均放在a12与a21，故A的迹为5。展开x^TAx可直接核对。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

二次型矩阵的对角元对应平方项系数，非对角元之和对应交叉项系数；采用对称矩阵时各取一半。矩阵秩称二次型的秩。可逆线性替换x=Cy后矩阵变为C^TAC。

我会追问的易错点

把交叉项系数4完整填进两个对称位置、把相似变换P^{-1}AP与合同变换C^TAC混淆、漏齐次条件，是三类错误。写完矩阵必须展开反查。

迁移到下一题

将3x1²-6x1x2+2x2²写成对称矩阵，计算行列式与秩，并展开验证交叉项。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 实对称矩阵正定 ⇔ 特征值全正 ⇔ 顺序主子式全正；合同保持正负惯性指数。边界：合同不等于相似。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。