合同二次型与合同矩阵

接住上一课

标准形通过合同变换得到。两个实对称矩阵A、B合同，是指存在可逆C使B=C^TAC；合同保持秩和正负惯性指数。

教师带你完成主模型

对角二次型diag(2,-3,0)有一个正系数、一个负系数、一个零系数，因此正惯性指数p=1、负惯性指数q=1、秩2。任意与它合同的实对称矩阵具有同样三项指标。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

Sylvester惯性定律说明实二次型的规范形唯一到变量顺序。相似保持特征值，合同一般不保持具体特征值，却保持惯性。正交相似对实对称矩阵同时也是合同。

我会追问的易错点

把合同写成C^{-1}AC、认为合同矩阵特征值完全相同、只比较行列式就断言合同，是三类错误。判断合同需比较正负惯性指数和秩。

迁移到下一题

判断diag(1,2,-1)与diag(3,-4,5)是否合同，并写出正负惯性指数证据。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 实对称矩阵正定 ⇔ 特征值全正 ⇔ 顺序主子式全正；合同保持正负惯性指数。边界：合同不等于相似。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。