化二次型为标准形、规范形

接住上一课

矩阵表示把二次型转成对称矩阵问题。本课用正交变换或配方法消去交叉项，标准形保留非零系数，规范形进一步把系数化为±1。

教师带你完成主模型

f=x1²+2x1x2+x2²=(x1+x2)²。其对称矩阵[[1,1],[1,1]]特征值为2、0，经正交变换标准形为2y1²+0y2²，所以二次型秩为1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

实对称矩阵可正交对角化，特征值成为标准形系数。配方法更直接但通常不是正交变换。规范形只保留正平方、负平方和零项数量，这些正负惯性指数在合同变换下不变。

我会追问的易错点

消去交叉项后不说明变换是否可逆、把标准形和规范形混为一谈、遗漏零特征值对应变量，是三类错误。标准形系数可不同，但秩和正负指数必须一致。

迁移到下一题

将2x1²+4x1x2+2x2²化标准形，再写规范形并给出所用可逆变量替换。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 实对称矩阵正定 ⇔ 特征值全正 ⇔ 顺序主子式全正；合同保持正负惯性指数。边界：合同不等于相似。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。