群表示：把每个对称翻译成矩阵

本课要解决的问题

抽象群如何作用在线性空间，使群乘法变成线性代数计算？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

群表示是同态 ρ:G→GL(V)。表示把 g 对应为可逆线性算子ρ(g)，满足ρ(gh)=ρ(g)ρ(h)。选择基后算子写成矩阵；换基会共轭全部矩阵，却不改变表示的本质。迹 χ(g)=trρ(g) 称特征标，对共轭类恒定。

推导主线

正方形平面旋转90°可表示为 R=[[0,-1],[1,0]]，且 R⁴=I，对应C₄生成元关系。其迹为0，行列式为1。群关系若在生成矩阵上成立，就能把抽象词化成矩阵乘积验证。

完整例题

R作用于向量(1,0)得到(0,1)。再作用两次、三次、四次依次得到(-1,0)、(0,-1)、(1,0)，精确复现四阶循环。

严格边界

表示不一定忠实，非单位群元素可能映到单位矩阵；表示维数也不是群阶。矩阵依赖基，迹、特征值等共轭不变量更适合比较。

课后闭环

为D₄的r、s写二维矩阵，验证r⁴=s²=I与srs=r⁻¹；再判断该表示是否忠实。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。