矩阵群：线性变换怎样把抽象群变成可计算对象

本课要解决的问题

哪些矩阵集合在乘法下构成群，它们分别保留什么几何或代数结构？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

域F上的一般线性群 GL(n,F) 由全部可逆n阶矩阵组成。行列式为1的矩阵形成 SL(n,F)；实正交矩阵满足 AᵀA=I，形成 O(n)；再要求detA=1得到旋转群 SO(n)。复数情形保内积的酉矩阵形成 U(n)。

推导主线

可逆矩阵乘积仍可逆，单位矩阵提供单位元，矩阵乘法满足结合律，逆矩阵仍在集合中。附加条件也需验证封闭，例如 det(AB)=detA·detB 说明两个行列式1矩阵的乘积仍在SL。

完整例题

计算有限域F₂上的GL(2,F₂)：第一列可取3个非零向量；第二列不能落在第一列张成的一维空间，剩2个选择，所以阶为(4-1)(4-2)=6。

严格边界

全部方阵在乘法下不是群，因为奇异矩阵没有逆。矩阵群依赖底域与保留结构；同样的数组在实数域和有限域上可能属于不同对象。

课后闭环

逐条验证SL(2,R)与O(2)是GL(2,R)的子群；分别找一个属于GL但不属于SL、属于O但不属于SO的矩阵。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。