线性变换与矩阵的关系

先有变换，还是先有矩阵

第二节说矩阵是变换机器，其实顺序应倒过来：变换是本体，矩阵只是它的档案。一个变换只要满足两条规矩——先加再变 = 先变再加（保加法）、放大再变 = 变完再放大（保倍数）——它就是线性变换。

类比：演员与证件照

变换是演员本人，矩阵是他的证件照。换一套「坐标系」（换相机角度），同一个变换会拍出不同的矩阵。所以别把矩阵和变换划等号：矩阵依赖坐标，变换不依赖。

档案是怎么建立的

只要知道机器把两个「基准箭头」(1, 0) 和 (0, 1) 送到哪里，任何向量 (x, y) 的去向都能推算——因为 (x, y) = x·(1, 0) + y·(0, 1)，而机器保加法、保倍数。所以把两个基准的像写成两列，就是矩阵。矩阵的列重要，原因就在这。

反例帮你划线

平移（每个点向右挪 3 格）不是线性变换：原点被挪走了。旋转、缩放、镜像、投影都是线性的；平移、加噪声不是。口诀：原点必须待在原地。

为什么要分这么清

换坐标系是工程日常：机器人要在大地坐标、自身坐标、摄像头坐标之间换算，每次都像给同一个变换「换证件照」。懂了这层，坐标变换就不是背公式。

练一练：判断 (x, y) → (x + 3, y) 和 (x, y) → (x - y, x + y) 哪个是线性变换？