Legendre 变换

先看旧方法为什么不够

本节从一个可复算任务开始：对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换。先把系统、参考系、质点或刚体、约束、初值和要求的物理量写在一张表里，再尝试牛顿分量法。若未知约束力过多、坐标之间互相牵制或守恒结构被分量式遮住，就说明需要分析力学。我们不是为了换一套记号，而是为了只在允许运动的方向上写方程，并让对称性、几何和数值算法都能从同一结构出发。
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对象、公式与成立条件

本节核心机制是：若速度 Hessian det(∂²L/∂qdot²)≠0，可由 p=L_qdot 反解 qdot，并定义 H=p·qdot-L。请把这句话拆成四栏：变量属于位形空间还是相空间，公式中的偏导固定什么，约束是否完整且理想，结论要求局部还是全局。每个符号首次出现都写量纲；每次消元都说明矩阵可逆或约束独立的条件。公式离开条件就不是速查，而是事故源。
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跟着老师逐步推导

现在完成课堂主算例“对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换”。第1步选择最少但不奇异的广义坐标；第2步写位形映射和速度，不跳过链式法则；第3步建立 T、V、L 或 H；第4步对每个自由度做偏导与全导数；第5步整理成可解的方程；第6步用初值和约束闭合。至少保留 4 行关键中间式，让同伴能从上一行复算下一行，而不是只看到结论。
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物理解释与极限反查

推导完成后做三次反查。量纲反查确认方程每一项同量纲；极限反查令耦合、阻尼、驱动或几何参数趋零，必须退化到已知系统；对称反查观察坐标平移、旋转或时间平移是否给出相应守恒量。若三者之一失败，优先检查速度交叉项、全导数、符号和约束乘子，而不是继续堆公式。
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一个完整计算

把主算例的参数无量纲化：选特征长度、质量和时间，把方程写成少数无量纲组合。然后选一组正常参数、一组接近奇异或转向点的参数、一组让某项消失的退化参数。手算先预测方向和数量级，再让程序计算。程序若与预测冲突，应定位首个残差、守恒量或约束误差，而不是把步长调小到看起来顺滑。
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严格推导怎样得分

严格题必须公开展示：对象与假设2分，变分或坐标推导3分，方程/守恒量及充分条件2分，极限或反例2分，量纲与适用范围1分。围绕“Legendre 变换”只写定理名、最终公式或软件截图均不得分。若用了已知公式，也要说明它如何从本系统的 Lagrangian、Hamiltonian、Poisson 括号或约束几何中得到。
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数值实验承担什么证据

本章可运行任务会把“对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换”变成标准输入输出程序。至少四个测试分别覆盖正常、边界、退化和错误输入；参考实现必须在本地逐个运行通过。数值轨道支持有限参数下的计算结论，不能替代连续系统的定理证明；形式推导也不能替代稳定性、收敛阶和浮点误差检查。两类证据要相互反查。
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易错边界

本节最危险的越界是：退化 Lagrangian 不能直接反解速度，需要约束 Hamilton 理论。请构造一个最短反例或退化构型，指出错误推理首次发生在哪一行，并写出修正后命题。如果问题来自坐标奇异，换坐标图；如果来自约束不独立，检查 Jacobian 秩；如果来自离散误差，做步长减半；如果来自守恒条件缺失，明确外部驱动或显含时间项。
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与课程主线的连接

本节位于第 9 章第 1 节。向前，它使用普通力学、微积分、线性代数以及前章建立的允许位移与作用量；向后，它将进入 Noether 守恒、中心力、刚体、正则模、Hamilton 流、正则变换、Hamilton–Jacobi 或混沌分析。请画一条依赖箭头，并在箭头上写清传递的是坐标、守恒量、生成函数还是误差证据。
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下课自检

闭卷回答六问：为何选这组广义坐标？约束条件在哪里使用？核心方程从哪一步推出？哪个对称性给出哪个守恒量？最短失败反例是什么？代码实验只证明了什么？能在新参数和新坐标下重新完成推导与四组测试，才算真正掌握“Legendre 变换”。

本节专属讲解：Legendre 变换

定义不是标签

本节真正要定义和操作的是“Legendre变换,Hamilton方程,辛结构”。若速度 Hessian det(∂²L/∂qdot²)≠0，可由 p=L_qdot 反解 qdot，并定义 H=p·qdot-L。这里每个符号都必须落到本节对象：坐标或量子数规定允许状态，算符、矩阵或泛函规定如何计算，边界/归一/约束条件筛掉形式解。我们把“Legendre 变换”限定在这一模型内；换成同章另一节的对象，下面两式、数值和反例都不会原样成立。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：Legendre变换,Hamilton方程,辛结构

第一行推导

从定义直接写出第一条关系：$$p=L_{q}dot.$$ 这一步不是结论清单，而是把本节的自由度、基底或实验输入逐项代入。先确认求和范围、导数固定的变量、矩阵维数或量子数取值，再执行代数；若少一个允许值或多一个禁戒值，后面的计数、能量或轨道都会整体错误。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：若速度 Hessian det(∂²L/∂qdot²)≠0，可由 p=L_qdot 反解 qdot，并定义 H=p·qdot-L

第二、三行推导

利用上一行的约束、对称性或代换继续得到：$$det{L}_{q}dotqdot\ne 0.$$ 接着完成本节数值化：从p=L_qdot与H=pqdot-L求dH=-L_qdq+qd dot p-L_tdt，比较系数得qdot=H_p、pdot=-H_q。谐振子m=3,k=5,q=0.2,p=0.3时H=p²/(2m)+kq²/2=0.1150。显式Euler的相面积漂移是反例。 这里给出的最终数字已经算完，不是把计算留给学生。复算时先得到中间量，再代入第二式；最后改变一个参数，检查结果应按线性、平方、平方根或非线性方式变化。量纲和极限必须同时通过，才可把该数值解释成分析力学预测。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：p=L_qdot; detL_qdotqdot≠0

具体例题已经算到结果

例题任务是“对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换”。按本节两式，先把题面量转成统一单位或无量纲参数；再写出允许的坐标、量子数、矩阵元素或积分区间；随后代入上段已经给出的参数并得到明确结果。答案必须包含模型标签和单位，不能只报孤立数字。若把输入扩大两倍，程序还要打印新旧结果之比，用缩放规律反查是否误用了$h/\hslash$、质量、角动量或参考系。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：从p=L_qdot与H=pqdot-L求dH=-L_qdq+qd dot p-L_tdt，比较系数得qdot=H_p、pdot=-H_q。谐振子m=3,k=5,q=0.2,p=0.3时H=p²/(2m)+kq²/2=0.1150。显式Euler的相面积漂移是反例。

算法与实验步骤

第一步校验输入范围；第二步枚举允许状态或建立矩阵/微分方程；第三步按$f1$计算第一中间量；第四步按$f2$得到可观测结果；第五步对正常、边界、退化、错误四组输入实跑；第六步输出残差、守恒量漂移、归一误差或仪器卷积差。每一步都能定位首个偏差，所以一张最终曲线不能替代这些记录。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：对自然系统与含速度线性项系统分别完成 Legendre 变换

反例也要算出差异

本节反例条件是：退化 Lagrangian 不能直接反解速度，需要约束 Hamilton 理论。把该条件落实成一组最小输入后，旧式的某个取值范围、零矩阵元、守恒条件或近似小参数立刻失效；错误模型会多算/少算一个态、产生非零残差、漏掉一条谱线或错误保持一个守恒量。修正时必须明确增加的新项、改用的基底或替换的边界条件，并重新执行上面的两式。只说“近似可能不准”不算反例。 对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：退化 Lagrangian 不能直接反解速度，需要约束 Hamilton 理论

闭卷验收

闭卷重建：专属定义“Legendre变换,Hamilton方程,辛结构”；三行推导中的$f1与$f2；上段已经算完的具体例题；六步算法；反例“退化 Lagrangian 不能直接反解速度，需要约束 Hamilton 理论”造成的明确差异。五项均能针对Legendre 变换复述，才算本节教会。
对《Legendre 变换》，本段必须用这条专属证据复核：Legendre变换,Hamilton方程,辛结构