非齐次方程组

接住上一课

齐次解空间描述自由方向，非齐次解集若非空就是一个特解平移齐次解空间。秩判别先回答有没有解，再回答自由度。

教师带你完成主模型

非齐次Ax=b含3个未知数，若rankA=rank[A|b]=2，则方程相容且有1个自由变量，通解为x=x_p+cη。计算题所求自由变量数为3-2=1。参数c遍历全部实数。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

rankA≠rank增广时无解；两秩相等且等于n时唯一解；相等且小于n时无穷多解。任意两个非齐次解之差是齐次解，这也可用于检查两个候选特解是否属于同一解集。

我会追问的易错点

只比较行列式而矩阵非方、增广列不参与消元、把一个特解与基础解系直接混为同类，是三类错误。最后应用原方程逐式代回。

迁移到下一题

讨论含参数b的三元方程组在何时无解、唯一或无穷多解，并分别写秩证据。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： rankA<rank[A|b] 无解；两秩相等有解，自由变量数为n-rankA。边界：方程条数不能单独决定解数。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。