齐次方程组

接住上一课

向量相关性等价于齐次方程存在非零解。本课统一主元、自由变量、基础解系和零空间维数，要求从阶梯形回代构造全部解。

教师带你完成主模型

齐次Ax=0有4个未知数且rankA=2，则自由变量数与解空间维数均为4-2=2，基础解系含2个线性无关解向量。通解是它们的任意线性组合。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

齐次方程永远有零解；rankA=n时只有零解，rankA<n时有非零解。基础解系要同时满足每个向量是解、彼此线性无关、张成全部解。

我会追问的易错点

把基础解系个数写成rankA、自由变量任意指定后漏回代、只给一个特解当通解，是三类错误。列出基础向量后必须代回Aη=0。

迁移到下一题

为一个2×4阶梯方程组选择两个自由变量，分别设单位参数构造基础解系并验证无关。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： rankA<rank[A|b] 无解；两秩相等有解，自由变量数为n-rankA。边界：方程条数不能单独决定解数。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。