特征值、特征向量

接住上一课

方程组章节研究零空间，本课用det(A-λI)=0寻找不变方向。特征值连接迹、行列式、可逆性和矩阵幂。

教师带你完成主模型

对角矩阵diag(2,4)的特征值为2、4，和为6等于迹，积为8等于行列式。标准基向量是相应特征向量，任意非零倍数仍在同一特征子空间。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

不同特征值的特征向量线性无关。0为特征值等价于不可逆。A与A^T具有相同特征多项式。对每个λ需单独解(A-λI)x=0。

我会追问的易错点

把零向量当特征向量、只求根不求向量、用行初等变换替代相似变换后仍保留特征值，是三类错误。迹与行列式可核对结果但不能代替求解。

迁移到下一题

求[[3,1],[0,2]]的特征值与特征向量，并用迹和行列式核对特征值。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 向量组无关 ⇔ 齐次组合仅零系数 ⇔ 列矩阵秩等于向量个数。边界：向量数超过空间维数必相关。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。