幂级数

接住上一课

常数项级数只有下标变化，幂级数Σa_n(x-x0)^n还随x变化。先求收敛半径，再逐个检查端点，最后才能在收敛区间内部逐项求导积分。

教师带你完成主模型

Σ_{n=0}∞x^n是几何级数，|x|<1时和为1/(1-x)，故收敛半径R=1。x=1时变成Σ1发散，x=-1时项不趋零也发散，所以收敛区间为(-1,1)。在该区间取x=1/2，级数和为2。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

比值法常给|x-x0|<R，但等号端点必须分别代回原级数。幂级数在收敛区间内部可逐项求导和积分，半径保持不变；端点敛散性可能改变。Taylor展开还要说明函数确实等于其幂级数。

我会追问的易错点

求出半径后直接把两个端点都纳入、逐项运算后沿用旧端点结论、混淆收敛半径和区间长度，是典型错误。中心x0不是默认0，必须从(x-x0)识别。

迁移到下一题

求Σ(x-2)^n/n的收敛区间，先得半径，再分别检查x=1与x=3；说明两个端点为何可能表现不同。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 级数收敛指部分和有有限极限，通项趋0仅是必要条件；幂级数端点必须逐点判断。边界：比值判别极限为1时失效。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。