常数项级数的审敛法

接住上一课

概念课说明部分和才决定收敛。本课针对正项级数建立比较、极限比较、比值和根值判别，并训练先识别通项主阶再选方法。

教师带你完成主模型

级数Σ1/[n(n+1)]既可比较1/n²，也可裂项为1/n-1/(n+1)。前N项望远镜求和为1-1/(N+1)，故和为1。审敛法只回答敛散，若能裂项则还能得到精确和。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

比较判别要保持方向：0≤a_n≤b_n且Σb_n收敛可推Σa_n收敛；a_n≥b_n≥0且Σb_n发散可推Σa_n发散。比值或根值极限L<1收敛、L>1发散、L=1失效，不能强判。

我会追问的易错点

比较方向颠倒、在含符号项上直接使用正项比较、比值极限等于1仍宣布收敛，是高频错误。等价无穷小用于通项比较时还需保证最终同号并说明极限比较。

迁移到下一题

判定Σ(n+1)/(n³+1)的敛散性，先找与1/n²的极限比较；再给出一个比值判别L=1但仍收敛的例子。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 级数收敛指部分和有有限极限，通项趋0仅是必要条件；幂级数端点必须逐点判断。边界：比值判别极限为1时失效。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。