3.4 选择题讲评：矩阵下标公式现场重建

矩阵题先圈四个条件：存上三角还是下三角、按行还是按列、矩阵下标起点、压缩数组下标起点。少看一个条件，公式就可能整体错误。

单选：$n$ 阶对称矩阵保存下三角含主对角线，需要多少空间？答案 $n(n+1)/2$。若只保存严格下三角才是 $n(n-1)/2$，但那会漏掉独立的主对角线。

计算：下三角行优先且数组从 0 开始，$a_{i,j}(i\ge j)$ 映射为 i(i-1)/2+j-1。对 $a_{5,3}$ 得 10+2=12。若题目数组从 1 开始，结果应再加 1。

多选：A 对称矩阵压缩后仍可 $O(1)$ 定位任意元素；B 三元组稀疏表示的空间与非零元素数相关；C 三对角矩阵有 $3n$ 个非零位置；D 压缩一定提高所有操作速度。答案 A、B。C 边界两行各少一个，共 $3n-2$；D 只保证空间收益，某些访问与修改可能更复杂。

手工反查：若压缩下标 k=7，在 $4$ 阶下三角行优先中，前 3 行占 6 个，因此落在第 4 行，本行偏移 1，对应列 2，即 $(4,2)$；对称位置 $(2,4)$ 也取同一值。

错解反馈：只会正向公式不会反查；忽略主对角线；认为数组连续就保留二维行列布局；把理论最大非零位置数当实际非零元素数。

迁移题：$6$ 阶对称矩阵需保存多少元素？下三角行优先数组下标 9 对应哪一项？答案 21 个；前 4 行共 10 个，下标 9 是第 4 行第 4 列，即 $a_{4,4}$。验收要求用编号表复核。