3.4.1 特殊矩阵压缩：先数前面有多少元素

压缩存储利用矩阵元素的规律，只保存独立信息。$n$ 阶对称矩阵满足 $a_{ij}=a_{ji}$，只需保存上三角或下三角，共 $n(n+1)/2$ 个元素。映射下标的核心不是背公式，而是“前面完整行的元素数 + 本行偏移”。

以下三角、行优先、矩阵下标从 1 开始、数组下标从 0 开始为例。当 $i\ge j$：前 $i-1$ 行共存 $1+2+\cdots +(i-1)=i(i-1)/2$ 个，本行偏移为 $j-1$，故
$$k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1.$$
若 $i<j$，对称元素映射为 $(j,i)$。

三对角矩阵只保存满足 $|i-j|\le 1$ 的元素，总数为 $3n-2$。稀疏矩阵没有固定带状规律，常用三元组 (row,col,value)；它节省零元素空间，却不保证按坐标随机访问为 $O(1)$。

手工推演 $n=4$ 下三角：各行存储数为 1、2、3、4。元素 $a_{4,2}$ 前面有 6 个，本行偏移 1，所以 k=7；$a_{2,4}$ 与它对称，也映射到 7。

错解反馈：矩阵下标与数组下标都从 1 代入会差一；上三角公式套到下三角；看到“稀疏”就按三角矩阵公式，忽略非零位置不规则。

迁移题：$5$ 阶对称矩阵下三角行优先，$a_{3,2}$ 的数组下标是多少？答案 $3\times 2/2+2-1=4$。独立验收：能画出 $4$ 阶编号表，并由计数重新推导而非死背公式。