常微分方程

学习目标

本课围绕 常微分方程 建立可用于考研数学一解题的定义、公式和验算链。学完应能先识别条件，再独立完成对应计算，而不是只记题型名称。

核心模型

先识别可分离、一阶线性、伯努利或高阶常系数类型；通解代入初值后才得到特解。

必须掌握的关系是：y'+P(x)y=Q(x)，积分因子 μ=e^{∫Pdx}。写公式时同步写出变量范围、可导/可积/独立等前提；前提改变，结论可能失效。

例题推演

y'=2y，y(0)=3，得到 y=3e^{2x}。

标准过程分四步：①写已知条件；②选择定理并核对前提；③逐行计算；④用量纲、取值范围、代回或特殊值验算。在线计算题为：若 y'=3y 且 y(0)=2，求 y(ln 2)。

易错边界

• 正确检查：线性齐次方程解的线性组合仍是解。
• 典型错误：解出通解后无需使用给定初值。
• 不允许只写“显然”或直接报答案；模拟考试中要保留关键变形。

课后闭环

先独立做数值题，再完成单选与多选。错题必须标注“概念、条件、运算、表达”中的第一处错误，隔一天遮住答案重做。