中值定理与单调凹凸

学习目标

本课围绕 中值定理与单调凹凸 建立可用于考研数学一解题的定义、公式和验算链。学完应能先识别条件，再独立完成对应计算，而不是只记题型名称。

核心模型

罗尔、拉格朗日和柯西中值定理都依赖区间条件；单调由一阶导数判定，凹凸与拐点需结合二阶导数和变号。

必须掌握的关系是：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。写公式时同步写出变量范围、可导/可积/独立等前提；前提改变，结论可能失效。

例题推演

f(x)=x² 在[1,3]上，平均变化率4，因此 ξ=2 满足 f'(ξ)=4。

标准过程分四步：①写已知条件；②选择定理并核对前提；③逐行计算；④用量纲、取值范围、代回或特殊值验算。在线计算题为：f(x)=x³-3x 在 x=2 处的导数是多少？

易错边界

• 正确检查：二阶导数在某点变号可支持该点为拐点。
• 典型错误：只要 f''(x0)=0，x0 必是拐点。
• 不允许只写“显然”或直接报答案；模拟考试中要保留关键变形。

课后闭环

先独立做数值题，再完成单选与多选。错题必须标注“概念、条件、运算、表达”中的第一处错误，隔一天遮住答案重做。