函数、数列极限与连续

学习目标

本课围绕 函数、数列极限与连续 建立可用于考研数学一解题的定义、公式和验算链。学完应能先识别条件，再独立完成对应计算，而不是只记题型名称。

核心模型

数列极限强调 N 之后的整体控制；函数连续要求极限存在且等于函数值，左右极限必须一致。

必须掌握的关系是：lim f(x)=A ⇔ 左极限=右极限=A。写公式时同步写出变量范围、可导/可积/独立等前提；前提改变，结论可能失效。

例题推演

f(x)=(x²-1)/(x-1) 在 x≠1 时为 x+1，补定义 f(1)=2 后连续。

标准过程分四步：①写已知条件；②选择定理并核对前提；③逐行计算；④用量纲、取值范围、代回或特殊值验算。在线计算题为：为使 f(x)=(x²-4)/(x-2) 在 x=2 连续，应令 f(2) 等于多少？

易错边界

• 正确检查：闭区间连续函数必有界并能取得最大值和最小值。
• 典型错误：只要函数在一点有定义，它在该点就连续。
• 不允许只写“显然”或直接报答案；模拟考试中要保留关键变形。

课后闭环

先独立做数值题，再完成单选与多选。错题必须标注“概念、条件、运算、表达”中的第一处错误，隔一天遮住答案重做。